Для эффективной работы системы цифровой РЗА (цифровая релейная защита) необходимо быстро и точно измерять электрические параметры в защищаемой энергосистеме. Идеальной формой сигнала в энергосистеме является синусоидальный сигнал определенной частоты, в частности 50 Гц – для отечественных систем. Однако, в реальности могут возникать дополнительные гармонические составляющие из-за различных причин, таких как наличие нелинейных элементов в электрической сети или работа силовых электронных преобразователей. В таких случаях форма сигналов не является простой синусоидой, их форма становится более сложной.
Для количественной и качественной оценки таких сложных сигналов необходимо разложить их на гармонические составляющие и вычислить амплитуду и фазу каждой из них.
Для анализа и выделения гармонических составляющих измеряемых сигналов в цифровой РЗА широко применяется преобразование Фурье. В данной статье мы вспомним и рассмотрим преобразование Фурье и его применение в устройствах ЦРЗА. Более того, мы попытаемся глубже понять математические основы этого преобразования и его роль в анализе электрических сигналов.
Общие сведения про преобразование Фурье
Преобразование Фурье является мощным инструментом для анализа спектра сигналов и разложения сложных сигналов на гармонические компоненты. Основная идея заключается в представлении любого сигнала как суммы гармонических сигналов различных частот и амплитуд.
После применения преобразования Фурье получается набор коэффициентов, которые отображают амплитуду и фазу каждой гармонической составляющей. Эти коэффициенты образуют амплитудный и фазовый спектр сигнала.
Графически амплитудный спектр может быть представлен как график, где по оси X откладываются частоты, а по оси Y — амплитуды соответствующих частотных компонент:
Рисунок 1 – Амплитудный спектр сигнала
Фазовый спектр может быть представлен в виде графика, где по оси X откладываются частоты, а по оси Y — фазы соответствующих частотных компонент:
Рисунок 2 – Фазовый спектр сигнала
Преобразование Фурье широко используется в различных областях, включая обработку звуков, изображений, анализ данных, оптику, квантовую механику и другие. В цифровой релейной защите применение преобразования Фурье позволяет выделять характеристики гармонических составляющих электрических сигналов, такие как действующее значение и фаза гармоник и интергармоник измеряемых электрических сигналов. Это позволяет реализовать различные алгоритмы защиты и управления электрооборудованием.
Цифровая релейная защита: обработка измеряемых сигналов
Подведенные к блоку цифровой РЗА сигналы поступают на аналого-цифровой преобразователь (АЦП), который преобразует аналоговый сигнал в цифровой. Это позволяет производить дальнейшую математическую обработку процессором для последующего сравнения вычисленных параметров измеряемых сигналов с уставками, для передачи полученных результатов в логическую часть функции защиты или автоматики.
Измерение сигналов осуществляется путем периодического опроса АЦП для каждого подключенного аналогового канала. Полученные результаты измерений представляют собой последовательность дискретных значений измеряемой величины, полученных в определенные моменты времени.
Применения преобразования Фурье в цифровой РЗА
Преобразование Фурье является фундаментальным алгоритмом ЦОС в современных устройствах ЦРЗА. Для чего же необходимо выделение отдельных гармонических составляющих? Расчетная часть многих функции релейной защиты использует значения первой гармоники сигналов. Кроме того, высшие гармоники находят свое применение в некоторых функциях ЦРЗА, например, в алгоритмах обнаружения феррорезонанса трансформаторов или блокировки защиты при броске тока намагничивания. Также вычисление гармоник и интергармоник используется для анализа качества электроэнергии.
Общая формула преобразования Фурье
Преобразование Фурье является математической операцией, которая позволяет представить функцию в виде суммы гармонических колебаний. Общая формула преобразования Фурье имеет следующий вид:
- в экспоненциальной форме:
- в тригонометрической форме:
где f(t) – функция времени, которую мы хотим преобразовать;
F(ω) – ее спектральное представление;
ω – частота;
j – мнимая единица.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
В общей формуле преобразования Фурье используется интеграл от функции по всей оси времени. Однако в ЦРЗА на выходе АЦП мы имеем конечное число дискретных измерений, поэтому применять общую формулу преобразования Фурье мы не можем. Вместо этого в ЦРЗА используется формула дискретного преобразования Фурье (Discrete Fourier Transform – DFT), которая может применяться к конечному числу отсчетов сигнала.
Это позволяет использовать алгоритмы, оптимизированные для вычисления DFT, а также сохранять и обрабатывать данные в цифровом виде.
Формулы дискретного преобразования Фурье выглядят следующим образом:
- в экспоненциальной форме:
- в тригонометрической форме:
Измерительное окно для измерения гармоник
Во время работы алгоритмов ЦРЗА, измерения проводятся непрерывно, онлайн, в режиме реального времени. Измерительное окно для расчета спектральных составляющих в алгоритмах ЦРЗА является временным интервалом, в рамках которого к зафиксированному на данном отрезке времени сигналу применяется преобразование Фурье. На рисунке 3 приведен график части сигнала с выделенным временным интервалом, занимаемым измерительным окном:
Рисунок 3 – Временной интервал, занимаемый измерительным окном
При использовании частоты дискретизации 2 кГц, для алгоритмов, вычисляющих параметры основной гармоники и кратных ей, можно использовать измерительное окно длительностью в один период. Это означает, что окно будет содержать 40 точек измерений.
Анализ гармоник производится именно для этого выбранного временного участка. При получении новых выборок сигнала измерительное окно сдвигается вперед, и вычислительный процесс повторяется, и так далее. Такой подход позволяет обеспечить непрерывный мониторинг гармоник во времени и реагировать на изменения в спектре сигнала в режиме реального времени.
Визуализация расчета коэффициентов Фурье
Коэффициенты Фурье – это комплексные значения, получаемые в результате преобразования Фурье, которые выражают амплитуды и фазы спектральных составляющих сигнала. Существуют различные подходы к объяснению и визуализации процесса получения данных коэффициентов.
Часто встречается объяснение с визуализацией через «наматывание» исследуемого сигнала с частотой исследуемой гармоники в полярной системе координат и нахождение центра масс получившейся геометрической фигуры. На следующем рисунке приведен пример – со страницы https://proglib.io/p/fourier-transform/amp/:
Рисунок 4 – Один из способов визуализации процесса получения спектральных компонент в результате преобразования Фурье
В данном объяснении, каждая гармоническая компонента сигнала представляется как вектор в полярных координатах, длина которого соответствует мгновенному значению измеряемого сигнала, а угловая частота равна частоте исследуемой спектральной составляющей.
При наматывании этого вектора вокруг начала координат и последующем нахождении центра масс получившейся фигуры, можно определить основную составляющую данной компоненты сигнала.
Звучит и выглядит несколько сложновато для интуитивного восприятия.
Рассмотрим несколько более интуитивный способ понимания механизма получения спектральных коэффициентов преобразования Фурье.
Для этого возьмем формулы преобразования Фурье, представленные в тригонометрической форме и, далее, посмотрим на привычные инженерному глазу графики расчетных значений выражений под знаками интегралов (для НПФ) или знаками сумм (для ДПФ) вещественной и мнимой частей.
- для непрерывной функции:
- для дискретной функции
Нужно вспомнить, что численное значение интеграла функции равно площади под графиком подынтегральной функции. Один из способов нахождения площадей под графиками функций заключается в приближении их суммами площадей прямоугольников.
Отсчеты на графике, представляющим цифровой сигнал (на выходе АЦП), представляют собой прямоугольники шириной, равной времени между двумя соседними отсчетами, и высотой, равной измеренному в рамках данного отсчета мгновенному значению сигнала. Для вычисления площади под графиком цифрового сигнала для оценки коэффициентов Фурье при дискретном преобразовании необходимо просуммировать площади данных прямоугольников.
Посмотрим внимательно на формулы преобразования Фурье и увидим, что под знаками интегралов (для НПФ) или знаками сумм (для ДПФ) стоят произведения исходного сигнала на сигнал исследуемой гармоники единичной амплитуды.
Общие комментарии к представленным ниже графикам:
- Частота дискретизации – 40 точек на период;
- Ширина измерительного окна – 1 период основной частоты 50 Гц (40 точек);
- График произведения сигналов = поточечное произведение значений умножаемых сигналов;
- Представлены умножение на «cos составляющую» (левая часть графика) «sin составляющую» (правая часть графика);
- площадь ниже оси абсцисс считаем со знаком «-»;
- Амплитуда гармонических составляющих вычисляется по следующей формуле:
- Фаза гармонических составляющих вычисляется по следующей формуле:
- на графиках амплитуда тестового сигнала увеличена в 20 раз — для наглядности, чтобы все амплитуды были примерно в одном масштабе.
Пример 1
Для начала рассмотрим сигнал без высших гармоник, представляющий собой идеальную синусоиду частотой 50 Гц.
Характеристики единственной спектральной составляющей сигнала и тестового сигнала для данного примера приведены в таблице 1:
Таблица 1
| Частота, Гц | Амплитуда, В | Фаза, ° |
| Спектральные составляющие измеряемого сигнала | ||
| 50 | 100 | 0 |
| Тестовый сигнал | ||
| 50 | 1 | 0 |
Графики измеряемого и тестового сигналов и график их произведения представлены на рисунке 5:
Рисунок 5 – пример №1
Сигнал, обозначенный «Произведение» на левом и правом графиках (с залитой площадью между графиком и осью абсцисс) представляет собой выражение под знаком суммы в формулах коэффициентов ряда Фурье для вещественной и мнимой части спектральной составляющей соответственно.
Площадь под графиком вещественной части спектральной составляющей исследуемой частоты в рамках измерительного окна равна нулю (площадь под осью абсцисс считаем отрицательной), а площадь под графиком мнимой части отличается от нуля, что в итоге приведет к вычислению амплитуды измеряемой составляющей, отличной от нуля.
Пример 2
В этом примере также возьмем сигнал без высших гармоник, представляющий собой идеальную синусоиду частотой 50 Гц и поищем в этом сигнале 2-ю гармонику (спектральную составляющую частотой 100 Гц).
Характеристики спектральной составляющей сигнала и тестового сигнала для данного примера приведены в таблице 2:
Таблица 2
| Частота, Гц | Амплитуда, В | Фаза, ° |
| Спектральные составляющие измеряемого сигнала | ||
| 50 | 100 | 0 |
| Тестовый сигнал | ||
| 100 | 1 | 0 |
Графики измеряемого и тестового сигналов и график их произведения представлены на рисунке 6:
Рисунок 6 – пример №2
Площади под графиками вещественной и мнимой частей спектральной составляющей исследуемой частоты в рамках измерительного окна равны нулю, следовательно, амплитуда измеряемой составляющей равна нулю, то есть 2-я гармоника отсутствует в составе данного сигнала.
Пример 3
Теперь рассмотрим составной сигнал – основная гармоника плюс 3-я гармоника (частотой 150 Гц).
Характеристики спектральных составляющих сигнала и тестового сигнала для данного примера приведены в таблице 3:
Таблица 3
| Частота, Гц | Амплитуда, В | Фаза, ° |
| Спектральные составляющие измеряемого сигнала | ||
| 50 | 100 | 0 |
| 150 | 60 | -80 (280) |
| Тестовый сигнал | ||
| 150 | 1 | 0 |
Графики измеряемого и тестового сигналов и их произведения представлены на рисунке 7:
Рисунок 7 – пример №3
Площади под графиками вещественной и мнимой частей спектральной составляющей исследуемой частоты в рамках измерительного окна не равны нулю, следовательно, амплитуда 3‑й гармоники не равна нулю, что говорит о ее присутствии в составе данного сигнала.
Пример 4
В данном примере также возьмем составной сигнал – основная гармоника плюс 3-я гармоника (частотой 150 Гц) и поищем в этом сигнале 2-ю гармонику (спектральную составляющую частотой 100 Гц).
Характеристики спектральной составляющей сигнала и тестового сигнала для данного примера приведены в таблице 4:
Таблица 4
| Частота, Гц | Амплитуда, В | Фаза, ° |
| Спектральные составляющие измеряемого сигнала | ||
| 50 | 100 | 0 |
| 150 | 60 | -80 (280) |
| Тестовый сигнал | ||
| 100 | 1 | 0 |
Графики измеряемого и тестового сигналов и график их произведения представлены на рисунке 8.
Рисунок 8 – пример №4
Площади под графиками вещественной и мнимой частей спектральной составляющей исследуемой частоты в рамках измерительного окна равны нулю, следовательно, амплитуда измеряемой составляющей равна нулю, то есть 2-я гармоника отсутствует в составе данного сигнала.
Пример 5
В данном примере также возьмем составной сигнал – основная гармоника плюс 3-я гармоника (частотой 150 Гц) и поищем в этом сигнале гармонику с еще более высокой частотой, например, 5-ю (спектральную составляющую частотой 250 Гц).
Характеристики спектральной составляющей сигнала и тестового сигнала для данного примера приведены в таблице 5:
Таблица 5
| Частота, Гц | Амплитуда, В | Фаза, ° |
| Спектральные составляющие измеряемого сигнала | ||
| 50 | 100 | 0 |
| 150 | 60 | -80 (280) |
| Тестовый сигнал | ||
| 250 | 1 | 0 |
Графики измеряемого и тестового сигналов и график их произведения представлены на рисунке 9:
Рисунок 9 – пример №5
Площади под графиками вещественной и мнимой частей спектральной составляющей исследуемой частоты в рамках измерительного окна равны нулю, следовательно, амплитуда измеряемой составляющей равна нулю, то есть 5-я гармоника отсутствует в составе данного сигнала.
Интергармоники
В заключение рассмотрим также интергармоники – спектральные составляющие, не кратные основной частоте измеряемого сигнала.
Измерительное окно для измерения интергармоник
Перед рассмотрением примеров с вычислением интергармонических составляющих стоит отметить, что для исследования интергармоник необходимо увеличение ширины окна измерения. Причем чем больше требуется разрешение спектра по частоте, тем большую ширину окна измерения необходимо использовать для расчетов.
Если умножить две синусоиды разной частоты, то основная частота произведения этих сигналов будет равна модулю разности частот исходных сигналов. Это следует из формулы произведения двух синусов.
Например, при умножении исследуемого сигнала с основной частотой 50 на тестовый сигнал 60 Гц основная частота произведения этих сигналов будет равна 10 Гц, следовательно, для получения корректных значений коэффициентов Фурье для исследуемой интергармоники частотой 60 Гц измерительное окно должно быть 100 мс или кратно этому интервалу.
Таким образом, разрешение спектра обратно пропорционально ширине окна измерения. Для получения спектра с разрешением 10 Гц (составляющими с шагом) необходимо использовать окно 100 мс, с разрешением 5 Гц – 200 мс и т.д.
Пример 6
В этом примере возьмем сигнал, представляющий собой идеальную синусоиду частотой 50 Гц и поищем в этом сигнале отсутствующую интергармоническую составляющую частотой 60 Гц.
Характеристики спектральной составляющей сигнала и тестового сигнала для данного примера приведены в таблице 6:
Таблица 6
| Частота, Гц | Амплитуда, В | Фаза, ° |
| Спектральные составляющие измеряемого сигнала | ||
| 50 | 100 | 0 |
| Тестовый сигнал | ||
| 60 | 1 | 0 |
Графики измеряемого и тестового сигналов и график их произведения представлены на рисунке 10:
Рисунок 10 – пример №6
Площади под графиками вещественной и мнимой частей спектральной составляющей исследуемой частоты в рамках измерительного окна равны нулю, следовательно, амплитуда измеряемой составляющей равна нулю, то есть интергармоника 60 Гц отсутствует в составе данного сигнала.
Пример 7
Теперь добавим к идеальному синусоидальному сигналу частотой 50 Гц интергармонику частотой 60 Гц. Тестовый сигнал также возьмем 60 Гц.
Характеристики спектральной составляющей сигнала и тестового сигнала для данного примера приведены в таблице 7:
Таблица 7
| Частота, Гц | Амплитуда, В | Фаза, ° |
| Спектральные составляющие измеряемого сигнала | ||
| 50 | 100 | 0 |
| 60 | 50 | 0 |
| Тестовый сигнал | ||
| 60 | 1 | 0 |
Графики измеряемого и тестового сигналов и график их произведения представлены на рисунке 11:
Рисунок 11 – пример №7
Площадь под графиком вещественной части спектральной составляющей исследуемой частоты в рамках измерительного окна равна нулю (площадь под осью абсцисс считаем отрицательной), а площадь под графиком мнимой части отличается от нуля, что в итоге приведет к вычислению амплитуды измеряемой интергармонической составляющей частотой 60 Гц, отличной от нуля.
Преобразование Фурье в цифровой РЗА: заключение
Подводя итоги, отметим, что преобразование Фурье является мощным математическим инструментом, который находит широкое применение в различных областях науки и техники.
Применительно к устройствам цифровых РЗА с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) мы вычисляем все необходимые гармонические составляющие, которые являются основой для работы функций защит и автоматики, используемых в устройствах производства НПП «Микропроцессорные технологии».